11.11.2015 Взять и поделить или деление по модулю

Материал из SRNS
Перейти к: навигация, поиск

Содержание

Есть некоторая неуверенность в результатах работы функций взятия модуля, для борьбы с которой составлена эта памятка.

Лично я привык к работе функции mod(a, b) в MATLAB, которая приводит a к диапазону [0 b] или [b 0] (в зависимости от знака b) путем прибавления/вычитания целого числа b к/из a. Что выражается в формуле:

mod(a, b) = a - floor(a ./ b)*b,

где функция floor - округление в сторону минус бесконечности.

Операция взятия остатка по модулю замечательна своими свойствами:

(a+b)mod n = [a(mod n) + b(mod n)]mod n
(a-b)mod n = [a(mod n) - b(mod n)]mod n
(a*b)mod n = [a(mod n) * b(mod n)]mod n
[c*(a+b)]mod n = [c*a(mod n) + c*b(mod n)]mod n

Как оказалось, делить можно по-разному, в зависимости от функции, которую мы используем для округления[1]:

  • truncated division modulo - используется функция fix() - округление в сторону нуля, в результате имеем остаток от деления абсолютных значений аргументов, знак используем от первого.
  • floored division modulo - используется функция floor() - округление в сторону минус бесконечности, в результате приводим число к интервалу [0 b] для положительных b или [b 0] для отрицательных.
  • и т.д.

Для себя я теперь разделяю понятия остатка от деления (remainder after devision) и приведения числа по модулю (modulus after devision) соответственно.

Как показало исследование ниже, результаты будут отличаться тогда, когда аргументы имеют разный знак.

Так какие функции и операторы реализуют остаток от деления, какие взятие по модулю, и как они зависят от типов аргументов? Ниже представлены результаты, полученные на Oryx 161, компилятор из Xilinx SDK 2014.4 ( gcc version 4.8.3 20140320 (prerelease) (Sourcery CodeBench Lite 2014.05-23)).


Оператор %


Следует обратить внимание:

  • int a % uint b = mod(*(uint*(&a)), b) - результаты для -13%(int 7) и -13%(uint 7) различаются; если брать int % uint, то int интерпретируется как uint, например, -1 превращается в 2^32-1.
  • uint a % int b = b<0 ? a : mod(a, b) - взятие uint % отрицательного числа - холостая операция, результат - исходный uint
  • int a % int b = sign(a) * mod(|a|, |b|) - как подсказывает стандарт, до C (ISO 1999) и C++ (ISO 2011) знак зависел от реализации, теперь же применяется знак делимого
  • int a % int b = (MATLAB)rem(a, b) - ведет себя как функция rem() в MATLAB: rem(a, b) = a - fix(a/b)*b, где fix() - функция округления в сторону нуля
  • int a % int b ведет себя как функция mod() в MATLAB только при совпадении знаков аргументов, иначе есть смещение на b (за исключением точек, в которых результат ноль)

Выводы:

  • Оператор % дает в нашей системе остаток от деления (truncated division modulo)
  • Функция mod() в MATLAB производит floored modulo, функция rem() в MATLAB - truncated modulo.

Для наглядности построены графики (доступен fig):


Функция fmod

Функция[2]:

double fmod (double numer, double denom)

возвращает остаток от деления в виде числа с плавающей точкой (numer - tquot * denom), где tquot - результат округления в сторону нуля дроби numer/denom. Иначе говоря, функция использует truncated division или функцию fix(). От знака второго аргумента результат не зависит. Буква f в названии функции - отсылка к float, а не floored!


Функция remainder

Функция[3]:

     double remainder  (double numer     , double denom);
      float remainderf (float numer      , float denom);
long double remainderl (long double numer, long double denom);

аналогична fmod(), но использует округление к ближайшему целому, то есть функцию round вместо fix. От знака второго аргумента результат не зависит.


Макрос umod

Для имитации matlab'овского mod() для целых чисел у нас существует макрос umod:

#define umod(x, y)  ( ((x)>=0) ? ((x)%(y)) : ((((x)+1)%(y))+(y)-1) )

При положительных y она работает как и ожидается - реализует floored modulo, при отрицательных есть проблемы.


Кроме того, если в неё мешать использование uint и int, то можно получить интересные эффекты, описанные выше.


Макрос ufmod

Аналогичен umod, но использовался для чисел типа double. Вызывал ошибки, поэтому сейчас не используется.

#define ufmod(x, y) ( ((x)>=0) ? (fmod((x), (y))) : (fmod(((x)+1),(y))+(y)-1) )

Графики показывают, что макрос дает ошибочные значения для отрицательных чисел.


Кроме того, если в неё мешать использование uint и int, то можно получить интересные эффекты, описанные выше.

Функция flmod(int, int)

Для исправления недостатков макроса umod создана функция flmod(int, int):

int flmod(int x, int y) {
    if (y >= 0)
        return ( (x>=0) ? (x%y) : (((x+1)%(y))+(y)-1) );
    else
        return -( (x<=0) ? (-x%-y) : (((-x+1)%(-y))+(-y)-1) );
}

Результаты её выполнения совпадают с MATLAB mod(), она реализует floored modulo:


Функция flumod(unsigned int, int)

Функция возвращает floored modulo для пары (unsigned int, int)


Результаты её выполнения совпадают с MATLAB mod():


Результаты тестов на большие входные значения:


Функция flfmodstep(double, double)

При переполнениях возникает задача сделать один шаг операции floored mod, прибавить или удалить только один base


Ссылки

  1. ↑ Wiki: Modulo operation
  2. ↑ http://www.cplusplus.com/reference/cmath/fmod/
  3. ↑ http://www.cplusplus.com/reference/cmath/remainder/

— Корогодин Илья • 18:40, 11 ноября 2015 • нет комментариев

[ Хронологический вид ]Комментарии

(нет элементов)

Войдите, чтобы комментировать.

Источник — «https://srns.ru/index.php?title=Blog:Korogodin/11.11.2015_Взять_и_поделить_или_деление_по_модулю&oldid=14090»
Персональные инструменты
Пространства имён

Варианты
Действия
SRNS Wiki
Рабочие журналы
Приватный файлсервер
QNAP Сервер
Инструменты