Моделирование коррелированных гауссовых СВ

Материал из SRNS
Перейти к: навигация, поиск

При моделировании следящих систем НАП, а так же сигналов многоантенных НАП, возникает задача создания нормальных случайных величин с заданным коэффициентом корреляции.

Рассмотрим решение данной задачи на примере модели шумов статистического эквивалента корреляционных сумм I_p, I_e и I_l.

Статистический эквивалент коррелятора

Статистический эквивалент коррелятора синфазных корреляционных сумм можно описать выражениями:

I_p = A_{IQ} \rho\left(\delta \tau\right) sinc\left(\frac{\delta \omega T}{2}\right) cos\left(\frac {\delta \omega T}{2} + \delta\varphi\right) + n_{Ip},

I_{e} = A_{IQ} \rho\left(\delta \tau - \frac{\Delta \tau}{2}\right) sinc\left(\frac{\delta \omega T}{2}\right) cos\left(\frac {\delta \omega T}{2} + \delta\varphi\right) + n_{Ie},

I_{l} = A_{IQ} \rho\left(\delta \tau + \frac{\Delta \tau}{2}\right) sinc\left(\frac{\delta \omega T}{2}\right) cos\left(\frac {\delta \omega T}{2} + \delta\varphi\right) + n_{Il},

которые для полной картины необходимо ещё дополнить определениями A_{IQ}, \rho() и т.д., а так же описанием шумов n_{Ip}, n_{Ie}, n_{Il}

Примечание. Задача формирования шумов квадратурных сумм - абсолютно аналогична и независима, т.к. шумы между I и Q компонентами не коррелируют.

Многомерная нормальная СВ или вектор случайных величин?

При синтезе радиотехнических систем часто используются модели, оперирующие с многомерными нормальными случайными величинами. Определение из Википедии:

Случайный вектор \mathbf{X} = (X_1,\ldots, X_n)^{\top}: \Omega \to \mathbb{R}^n имеет многомерное нормальное распределение, если выполняется одно из следующих эквивалентных условий:
  • Произвольная линейная комбинация компонентов вектора \sum\limits_{i=1}^n a_i X_i имеет нормальное распределение или является константой.
  • Существует вектор независимых стандартных нормальных случайных величин \mathbf{Z}=(Z_1,\ldots, Z_m)^{\top}, вещественный вектор \mathbf{\mu} = (\mu_1,\ldots, \mu_n)^{\top} и матрица \mathbf{A} размерности n \times m, такие что:
\mathbf{X} = \mathbf{A} \mathbf{Z} + \mathbf{\mu}.
  • Существует вектор \mathbf{\mu} \in \mathbb{R}^n и неотрицательно определённая симметричная матрица \mathbf{\Sigma} размерности n \times n, такие что характеристическая функция вектора \mathbf{X} имеет вид:
\phi_{\mathbf{X}}(\mathbf{u}) = e^{i \mathbf{\mu}^{\top} \mathbf{u} - \frac{1}{2}\mathbf{u}^{\top} \Sigma \mathbf{u}},\; \mathbf{u} \in \mathbb{R}^n.

Из первого условия следует, что каждая из компонент нормальной векторной СВ имеет нормальное распределение (для компоненты i это вытекает при a_i = 1 и остальных коэффициентах комбинации, равных 0). Отсюда часто возникает иллюзия, что нормальность распределений компонент влечет нормальность совместного распределения. Этот тезис не выполняется, на контрпример можно взглянуть тут.

Персональные инструменты
Пространства имён

Варианты
Действия
SRNS Wiki
Рабочие журналы
Приватный файлсервер
QNAP Сервер
Инструменты